Puissance n-ième - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que :

1. $(-\sqrt{3}-i{)}^n$ soit un réel positif ;

2. $(2-2i{)}^n$ soit un réel négatif.

Solution

1. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\begin{array}{rlr}(-\sqrt{3}-i{)}^n\in {\mathbb{R}}_{+}& ⟺\arg ((\sqrt{3}-i{)}^n)\equiv 0[2\pi ]& ⟺n\times \arg (-\sqrt{3}-i)\equiv 0[2\pi ]\end{array}$

or $|-\sqrt{3}-i|=\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$ ,
donc $-\sqrt{3}-i=2(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i)=2(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$ ,

donc $\arg (-\sqrt{3}-i)\equiv {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}[2\pi ]$ , et donc
$\begin{array}{r}(-\sqrt{3}-i{)}^n\in {\mathbb{R}}_{+}\\ & ⟺n\times \frac{5\pi }{6}\equiv 0[2\pi ]\\ & ⟺n\equiv 0[12]\\ & ⟺\text{il existe }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }n=12k.\end{array}$

2. Pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\begin{array}{rl}(2-2i{)}^n\in {\mathbb{R}}_{-}& ⟺\arg ((2-2i{)}^n)\equiv \pi [2\pi ]\\ & ⟺n\times \arg (2-2i)\equiv \pi [2\pi ]\end{array}$

or $|2-2i|=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ,
donc $2-2i=2\sqrt{2}({\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}-i{\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}})=2\sqrt{2}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-i{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=2\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{-\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{-\pi }{4}})$
donc $\arg (2-2i)\equiv {\displaystyle \frac{-\pi }{4}}[2\pi ]$ , et donc
$\begin{array}{rl}(2-2i{)}^n\in {\mathbb{R}}_{-}& ⟺n\times \frac{-\pi }{4}\equiv \pi [2\pi ]\\ & ⟺n\equiv -4[8]\\ & ⟺\text{il existe }k\in \mathbb{Z}\text{ tel que }n=-4+8k.\end{array}$